PANDUAN LENGKAP LIMIT KALKULUS 📚

Baik, saya akan menjelaskan semua materi limit ini dengan bahasa yang sangat mudah dipahami, seperti sedang mengajarkan kepada pemula. Mari kita mulai!

1.1 PENDAHULUAN LIMIT

Apa itu Limit?

Bayangkan kamu sedang berjalan mendekati sebuah pohon. Semakin dekat kamu ke pohon itu, kamu bisa melihat lebih jelas bentuknya. Limit itu seperti "nilai yang kita dekati" saat kita mendekati suatu titik tertentu.

Definisi sederhana: Limit adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya (biasanya x) mendekati suatu nilai tertentu.

Notasi:

lim f(x) = L
x→a

Dibaca: "Limit f(x) untuk x mendekati a sama dengan L"

Contoh Konsep Dasar:

Misalkan ada fungsi: f(x) = 2x + 1

Ketika x mendekati 3, maka:

x = 2.9 → f(x) = 6.8
x = 2.99 → f(x) = 6.98
x = 2.999 → f(x) = 6.998
x = 3.1 → f(x) = 7.2
x = 3.01 → f(x) = 7.02

Kita lihat bahwa nilai fungsi mendekati 7. Jadi:

lim (2x + 1) = 7
x→3

Kapan Limit Digunakan?

Menentukan nilai fungsi di titik yang "bermasalah" (seperti pembagian 0/0)
Menghitung kecepatan sesaat (turunan)
Menghitung luas daerah (integral)
Menganalisis perilaku fungsi di ujung-ujung domain

1.2 PENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMIT

A. Limit Kiri dan Limit Kanan

Limit Kiri (x→a⁻): mendekati dari arah kiri (nilai lebih kecil dari a) Limit Kanan (x→a⁺): mendekati dari arah kanan (nilai lebih besar dari a)

Aturan Penting: Limit ada jika dan hanya jika: Limit Kiri = Limit Kanan

Contoh:

         { x + 1,  jika x < 2
f(x) = {
         { 2x - 1, jika x ≥ 2

Limit kiri (x→2⁻): lim (x + 1) = 3 Limit kanan (x→2⁺): lim (2x - 1) = 3

Karena sama, maka lim f(x) = 3 (limit ada!) x→2

B. Metode Substitusi Langsung

Cara paling mudah: Langsung masukkan nilai x

Contoh:

lim (x² + 3x - 1)
x→2

Substitusi x = 2: = (2)² + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9

C. Bentuk Tak Tentu (0/0, ∞/∞)

Ketika substitusi langsung menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, kita butuh teknik khusus:

Teknik 1: Faktorisasi

lim (x² - 4)/(x - 2)
x→2

Jika substitusi → 0/0 (bentuk tak tentu)

Faktorkan pembilang:

= lim (x - 2)(x + 2)/(x - 2)
  x→2
= lim (x + 2)
  x→2
= 4

Teknik 2: Mengalikan dengan Sekawan (untuk akar)

lim (√x - 2)/(x - 4)
x→4

Kalikan dengan sekawan: (√x + 2)/(√x + 2)

= lim [(√x - 2)(√x + 2)]/[(x - 4)(√x + 2)]
  x→4
= lim (x - 4)/[(x - 4)(√x + 2)]
  x→4
= lim 1/(√x + 2)
  x→4
= 1/4

Teknik 3: Membagi dengan Pangkat Tertinggi (limit x→∞)

lim (3x² + 2x)/(x² - 5)
x→∞

Bagi semua dengan x²:

= lim (3 + 2/x)/(1 - 5/x²)
  x→∞
= (3 + 0)/(1 - 0)
= 3

1.3 TEOREMA LIMIT

Teorema limit adalah aturan-aturan yang mempermudah perhitungan. Anggap saja ini seperti "shortcut" dalam matematika!

Teorema Dasar:

1. Limit Konstanta:

lim c = c
x→a

(Konstanta tetap konstanta)

2. Limit Identitas:

lim x = a
x→a

3. Limit Penjumlahan:

lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
x→a                 x→a        x→a

4. Limit Pengurangan:

lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)
x→a                 x→a        x→a

5. Limit Perkalian:

lim [f(x) × g(x)] = lim f(x) × lim g(x)
x→a                 x→a        x→a

6. Limit Pembagian:

lim [f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x)
x→a               x→a        x→a

(asalkan lim g(x) ≠ 0)

7. Limit Pangkat:

lim [f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ
x→a           x→a

8. Limit Akar:

lim ⁿ√f(x) = ⁿ√[lim f(x)]
x→a            x→a

Contoh Penerapan:

lim (3x² - 2x + 5)
x→2

Gunakan teorema:

= 3·lim(x²) - 2·lim(x) + lim(5)
    x→2        x→2       x→2
= 3·(4) - 2·(2) + 5
= 12 - 4 + 5
= 13

Teorema Apit (Squeeze Theorem):

Jika f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) dan:

lim f(x) = lim h(x) = L
x→a        x→a

Maka:

lim g(x) = L
x→a

Ilustrasi: Bayangkan g(x) terjepit di antara f(x) dan h(x). Jika kedua fungsi penjepit menuju nilai yang sama, maka fungsi yang terjepit pasti juga menuju nilai itu!

1.4 LIMIT MELIBATKAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Limit Trigonometri Dasar (WAJIB HAFAL!):

1. Limit Fundamental Pertama:

lim (sin x)/x = 1
x→0

2. Limit Fundamental Kedua:

lim (1 - cos x)/x = 0
x→0

3. Turunan dari limit 1:

lim (tan x)/x = 1
x→0

4. Turunan lain:

lim (1 - cos x)/x² = 1/2
x→0

Teknik Menyelesaikan:

Cara 1: Manipulasi Aljabar

Contoh 1:

lim (sin 3x)/x
x→0

Manipulasi agar bentuk (sin u)/u:

= lim (sin 3x)/(3x) × 3
  x→0
= 3 × lim (sin 3x)/(3x)
      x→0
= 3 × 1
= 3

Contoh 2:

lim (sin 2x)/(sin 5x)
x→0

Pecah menjadi:

= lim [(sin 2x)/(2x)] × [(5x)/(sin 5x)] × (2x)/(5x)
  x→0
= 1 × 1 × 2/5
= 2/5

Cara 2: Substitusi

Contoh:

lim (1 - cos x)/(x·sin x)
x→0

Gunakan identitas: 1 - cos x = 2sin²(x/2)

= lim 2sin²(x/2)/(x·sin x)
  x→0
= lim [2sin(x/2)]/x × [sin(x/2)]/[sin x]
  x→0

Dengan manipulasi lebih lanjut:

= 1/2 × 1 = 1/2

Identitas Trigonometri yang Berguna:

sin²x + cos²x = 1
1 - cos x = 2sin²(x/2)
sin 2x = 2sin x cos x
cos 2x = 1 - 2sin²x = 2cos²x - 1
tan x = sin x / cos x

1.5 LIMIT DI TAK-HINGGA, LIMIT TAK-BERHINGGA

A. Limit di Tak Hingga (x→∞ atau x→-∞)

Ini adalah limit ketika x menuju nilai yang sangat besar (positif atau negatif).

Tipe 1: Fungsi Aljabar (Polinomial/Rasional)

Aturan Praktis: Untuk fungsi rasional f(x) = P(x)/Q(x):

Bandingkan derajat (pangkat tertinggi) P dan Q
Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi

Kasus:

a) Derajat pembilang < derajat penyebut → Limit = 0

lim (3x + 2)/(x² + 1)
x→∞

Bagi dengan x²:

= lim (3/x + 2/x²)/(1 + 1/x²)
  x→∞
= (0 + 0)/(1 + 0)
= 0

b) Derajat pembilang = derajat penyebut → Limit = koefisien pangkat tertinggi

lim (4x² + 3x)/(2x² - 5)
x→∞

Bagi dengan x²:

= lim (4 + 3/x)/(2 - 5/x²)
  x→∞
= 4/2
= 2

c) Derajat pembilang > derajat penyebut → Limit = ∞ atau -∞

lim (x³ + 2)/(x² - 1)
x→∞

Bagi dengan x²:

= lim (x + 2/x²)/(1 - 1/x²)
  x→∞
= ∞

Tipe 2: Fungsi dengan Akar

Contoh:

lim (√(x² + 3x) - x)
x→∞

Kalikan dengan sekawan:

= lim [(√(x² + 3x) - x)(√(x² + 3x) + x)]/(√(x² + 3x) + x)
  x→∞
= lim (x² + 3x - x²)/(√(x² + 3x) + x)
  x→∞
= lim 3x/(√(x² + 3x) + x)
  x→∞

Bagi dengan x:

= lim 3/(√(1 + 3/x) + 1)
  x→∞
= 3/(1 + 1)
= 3/2

B. Limit Tak Berhingga (Limit = ∞)

Ini adalah limit yang hasilnya menuju tak hingga.

Contoh 1: Asimtot Vertikal

lim 1/(x - 2)
x→2⁺

Ketika x mendekati 2 dari kanan:

x = 2.1 → 1/0.1 = 10
x = 2.01 → 1/0.01 = 100
x = 2.001 → 1/0.001 = 1000

Jadi: lim 1/(x - 2) = +∞ x→2⁺

Contoh 2:

lim 1/(x - 2)
x→2⁻

Dari kiri:

x = 1.9 → 1/(-0.1) = -10
x = 1.99 → 1/(-0.01) = -100

Jadi: lim 1/(x - 2) = -∞ x→2⁻

C. Bentuk Tak Tentu Khusus

1. Bentuk ∞ - ∞: Ubah menjadi bentuk 0/0 atau ∞/∞

2. Bentuk 0 × ∞: Ubah salah satu menjadi pecahan

3. Bentuk 1^∞, 0^0, ∞^0: Gunakan logaritma natural atau limit eksponensial

1.6 KONTINUITAS FUNGSI

Apa itu Kontinuitas?

Fungsi kontinu adalah fungsi yang grafiknya tidak putus atau tidak ada lompatan. Bayangkan kamu menggambar grafik tanpa mengangkat pensil dari kertas!

Definisi Formal:

Fungsi f(x) kontinu di x = a jika memenuhi 3 syarat:

f(a) ada (fungsi terdefinisi di x = a)
lim f(x) ada (limit ada) x→a
lim f(x) = f(a) (nilai limit = nilai fungsi) x→a

Jenis-jenis Diskontinuitas (Ketidakkontinuan):

1. Diskontinuitas Removable (dapat dihilangkan)

Terjadi ketika limit ada, tetapi tidak sama dengan nilai fungsi.

Contoh:

         { (x² - 4)/(x - 2),  jika x ≠ 2
f(x) = {
         { 5,                 jika x = 2

lim f(x) = 4, tetapi f(2) = 5 x→2

Solusi: Ubah nilai f(2) = 4, maka fungsi jadi kontinu!

2. Diskontinuitas Jump (lompatan)

Terjadi ketika limit kiri ≠ limit kanan.

Contoh:

         { x + 1,  jika x < 2
f(x) = {
         { x + 3,  jika x ≥ 2

lim f(x) = 3, tetapi lim f(x) = 5 x→2⁻ x→2⁺

Ada "lompatan" di x = 2!

3. Diskontinuitas Infinite (tak hingga)

Terjadi ketika limit menuju ∞.

Contoh:

f(x) = 1/(x - 3)

Di x = 3, fungsi menuju ∞ (ada asimtot vertikal).

Teorema Kontinuitas:

1. Fungsi Polinomial: Kontinu di semua bilangan real

2. Fungsi Rasional: Kontinu kecuali di titik penyebut = 0

3. Fungsi Trigonometri: sin x, cos x kontinu di semua x

4. Operasi Fungsi Kontinu:

Jika f dan g kontinu di a, maka:
- f + g kontinu di a
- f - g kontinu di a
- f × g kontinu di a
- f/g kontinu di a (jika g(a) ≠ 0)

Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem):

Jika f kontinu pada [a, b] dan N adalah nilai antara f(a) dan f(b), maka ada c di (a, b) sehingga f(c) = N.

Aplikasi: Membuktikan persamaan punya solusi!

Contoh: Buktikan x³ - x - 1 = 0 punya solusi di (1, 2).

f(1) = -1 (negatif) f(2) = 5 (positif)

Karena f kontinu dan 0 berada di antara -1 dan 5, maka pasti ada c di (1, 2) sehingga f(c) = 0!

1.7 TELAAH BAB

Ringkasan Konsep Kunci:

A. Definisi Limit

Limit adalah nilai yang didekati fungsi ketika x mendekati suatu nilai
Limit kiri harus sama dengan limit kanan agar limit ada

B. Teknik Menghitung Limit

1. Substitusi Langsung: Cara termudah, langsung masukkan nilai x

2. Faktorisasi: Untuk bentuk 0/0, faktorkan dan sederhanakan

3. Mengalikan Sekawan: Untuk bentuk dengan akar

4. Membagi Pangkat Tertinggi: Untuk limit x→∞

5. Limit Trigonometri: Hafal rumus dasar dan manipulasi aljabar

C. Teorema Penting

Teorema limit (penjumlahan, perkalian, dll.)
Teorema apit
Limit trigonometri fundamental

D. Limit Khusus

Limit di Tak Hingga:

Bandingkan derajat pembilang dan penyebut
Bagi dengan pangkat tertinggi

Limit Tak Berhingga:

Perhatikan tanda (+∞ atau -∞)
Tentukan asimtot vertikal

E. Kontinuitas

Syarat Kontinuitas:

f(a) ada
lim f(x) ada x→a
lim f(x) = f(a) x→a

Jenis Diskontinuitas:

Removable (dapat dihilangkan)
Jump (lompatan)
Infinite (tak hingga)

Tips Sukses Menguasai Limit:

✅ Hafal rumus limit trigonometri dasar ✅ Latih banyak soal untuk setiap tipe ✅ Pahami kapan menggunakan teknik tertentu ✅ Gambar grafik untuk visualisasi ✅ Periksa limit kiri dan kanan untuk limit yang rumit ✅ Untuk limit x→∞, fokus pada pangkat tertinggi ✅ Cek kontinuitas dengan 3 syarat

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari:

❌ Langsung menyimpulkan limit = nilai fungsi tanpa cek ❌ Lupa cek limit kiri dan kanan ❌ Salah dalam manipulasi aljabar (terutama akar) ❌ Tidak menyederhanakan sebelum substitusi ❌ Mengabaikan domain fungsi ❌ Keliru tanda pada limit tak hingga

Strategi Mengerjakan Soal Limit:

Langkah 1: Identifikasi jenis limit (x→a, x→∞, trigonometri, dll.)

Langkah 2: Coba substitusi langsung dulu

Langkah 3: Jika bentuk tak tentu (0/0, ∞/∞), pilih teknik:

Faktorisasi untuk polinomial
Sekawan untuk akar
Manipulasi untuk trigonometri
Bagi pangkat tertinggi untuk x→∞

Langkah 4: Sederhanakan hasil

Langkah 5: Substitusi ulang atau gunakan teorema limit

PENUTUP

Limit adalah fondasi dari kalkulus. Tanpa memahami limit dengan baik, akan sulit memahami turunan (derivative) dan integral di bab-bab selanjutnya.

Kunci sukses: LATIHAN, LATIHAN, dan LATIHAN!

Setiap tipe soal limit punya "trik" nya masing-masing. Semakin banyak kamu berlatih, semakin cepat kamu mengenali pola dan teknik yang tepat.

Selamat belajar! 🎓📊

Baik, saya akan menjelaskan kedua soal limit ini dengan sangat detail dan mudah dipahami! 🎓

SOAL 1:

lim (x→1) [(x² - 1) / |x - 1|]

📚 PENJELASAN KONSEP DASAR:

Soal ini melibatkan nilai mutlak di penyebut. Ingat:

|x - 1| = (x - 1) jika x ≥ 1
|x - 1| = -(x - 1) jika x < 1

Karena nilai mutlak berubah tergantung dari mana x mendekati 1, kita harus periksa limit kiri dan limit kanan.

🔍 LANGKAH PENYELESAIAN:

Step 1: Faktorkan pembilang

x² - 1 = (x + 1)(x - 1)

Step 2: Limit Kanan (x → 1⁺) — x mendekati 1 dari kanan (x > 1)

Karena x > 1, maka |x - 1| = x - 1

lim (x→1⁺) (x² - 1)/|x - 1| = lim (x→1⁺) [(x + 1)(x - 1)]/(x - 1)
                              = lim (x→1⁺) (x + 1)
                              = 1 + 1 = 2

Step 3: Limit Kiri (x → 1⁻) — x mendekati 1 dari kiri (x < 1)

Karena x < 1, maka |x - 1| = -(x - 1)

lim (x→1⁻) (x² - 1)/|x - 1| = lim (x→1⁻) [(x + 1)(x - 1)]/[-(x - 1)]
                              = lim (x→1⁻) -(x + 1)
                              = -(1 + 1) = -2

✅ KESIMPULAN SOAL 1:

Limit kanan = 2 Limit kiri = -2

Karena limit kanan ≠ limit kiri, maka:

JAWABAN: LIMIT TIDAK ADA ❌

SOAL 2:

lim (x→0) [(√(x + 3) - √3) / x]

📚 PENJELASAN KONSEP:

Jika kita substitusi langsung x = 0:

(√3 - √3)/0 = 0/0 ← bentuk tak tentu!

Karena bentuk 0/0, kita harus gunakan RASIONALISASI PEMBILANG (mengalikan dengan bentuk sekawan).

🔍 LANGKAH PENYELESAIAN:

Step 1: Rasionalkan pembilang

Kalikan dengan sekawan: (√(x + 3) + √3) / (√(x + 3) + √3)

lim (x→0) [√(x + 3) - √3]/x × [√(x + 3) + √3]/[√(x + 3) + √3]

Step 2: Gunakan rumus (a - b)(a + b) = a² - b²

Pembilang menjadi:

[√(x + 3)]² - [√3]² = (x + 3) - 3 = x

Penyebut menjadi:

x[√(x + 3) + √3]

Step 3: Sederhanakan

lim (x→0) x / {x[√(x + 3) + √3]}

= lim (x→0) 1 / [√(x + 3) + √3]

Step 4: Substitusi x = 0

= 1 / [√(0 + 3) + √3]
= 1 / [√3 + √3]
= 1 / (2√3)
= 1/(2√3) × √3/√3
= √3/6

✅ KESIMPULAN SOAL 2:

JAWABAN: √3/6 ✅

Atau dalam bentuk desimal ≈ 0,289

🎯 RINGKASAN:

Soal	Limit	Jawaban
1	lim (x→1) [(x² - 1)/\|x - 1\|]	TIDAK ADA
2	lim (x→0) [(√(x+3) - √3)/x]	√3/6

💡 TIPS PENTING:

Jika ada nilai mutlak, selalu cek limit kiri dan kanan!
Jika bentuk 0/0 dengan akar, gunakan rasionalisasi!
Sekawan dari (√a - √b) adalah (√a + √b)!

Semoga penjelasan ini membantu! 😊📖

PENJELASAN SUPER DETAIL SOAL 2 📖

SOAL:

lim (x→0) [(√(x + 3) - √3) / x]

BAGIAN 1: KENAPA HARUS DIRASIONALKAN? 🤔

Mari kita coba substitusi langsung dulu:

Kalau x = 0, maka:

Pembilang: √(0 + 3) - √3 = √3 - √3 = 0
Penyebut: 0

Hasilnya: 0/0 ← INI BENTUK TAK TENTU!

❌ 0/0 bukan berarti 0, tapi artinya kita TIDAK BISA langsung substitusi!

Kita harus ubah bentuknya dulu biar bentuk 0/0 hilang.

BAGIAN 2: APA ITU RASIONALISASI? 💡

Rasionalisasi = menghilangkan akar di pembilang dengan cara mengalikan dengan SEKAWAN

Apa itu SEKAWAN?

Kalau ada bentuk: (a - b), maka sekawannya adalah (a + b)

Dalam soal kita:

Pembilang = √(x + 3) - √3
Sekawannya = √(x + 3) + √3 ← TINGGAL GANTI TANDA MINUS JADI PLUS!

BAGIAN 3: PROSES RASIONALISASI STEP BY STEP 📝

STEP 1: Siapkan pecahan awal

lim (x→0) [√(x + 3) - √3] / x

STEP 2: Kalikan dengan sekawan (atas DAN bawah!)

PENTING: Kita kalikan atas dan bawah dengan [√(x + 3) + √3]

Kenapa atas dan bawah? Supaya nilainya tidak berubah! (Seperti mengalikan dengan 1)

lim (x→0) [√(x + 3) - √3] / x  ×  [√(x + 3) + √3] / [√(x + 3) + √3]

STEP 3: Kalikan pembilang dengan pembilang

Sekarang pembilangnya jadi:

[√(x + 3) - √3] × [√(x + 3) + √3]

Ini adalah bentuk (a - b)(a + b)!

Ingat rumus: (a - b)(a + b) = a² - b²

Di mana:

a = √(x + 3)
b = √3

Maka:

= [√(x + 3)]² - [√3]²
= (x + 3) - 3
= x

🎉 PEMBILANG SEKARANG JADI: x

STEP 4: Kalikan penyebut dengan penyebut

Penyebutnya jadi:

x × [√(x + 3) + √3]
= x[√(x + 3) + √3]

BAGIAN 4: SEDERHANAKAN ✂️

Sekarang limitnya jadi:

lim (x→0) x / {x[√(x + 3) + √3]}

CORET x di atas dan x di bawah:

lim (x→0) 1 / [√(x + 3) + √3]

🎊 SEKARANG SUDAH TIDAK ADA BENTUK 0/0 LAGI!

BAGIAN 5: SUBSTITUSI x = 0 🎯

Sekarang kita bisa substitusi langsung:

= 1 / [√(0 + 3) + √3]

= 1 / [√3 + √3]

= 1 / (2√3)

BAGIAN 6: RASIONALKAN PENYEBUT (OPSIONAL) 📐

Biasanya jawaban tidak boleh ada akar di penyebut, jadi kita rasionalkan lagi:

1/(2√3)  ×  √3/√3

= √3 / (2 × 3)

= √3/6

VISUALISASI LENGKAP: 👀

        √(x + 3) - √3
lim     ──────────────
x→0           x

              √(x + 3) + √3
        × ───────────────────  ← KALIKAN SEKAWAN
          √(x + 3) + √3


        (x + 3) - 3                  x
     = ─────────────────  =  ──────────────────
       x[√(x + 3) + √3]      x[√(x + 3) + √3]


            1                      1
     = ─────────────────  =  ────────────
       √(x + 3) + √3           √3 + √3


         1         √3
     = ─────  =  ────
        2√3        6

KESIMPULAN AKHIR: ✅

JAWABAN: √3/6 atau sekitar 0.289

LATIHAN UNTUK PEMAHAMAN: 💪

Coba kerjakan soal serupa ini:

lim (x→0) [√(x + 4) - 2] / x
lim (x→0) [√(x + 1) - 1] / x

Petunjuk: Gunakan cara yang sama!

TIPS PENTING: 🌟

✅ KAPAN HARUS RASIONALISASI?

Ada bentuk √a - √b atau √a + √b di pembilang
Setelah substitusi dapat 0/0

✅ RUMUS PENTING:

(a - b)(a + b) = a² - b²
(√a)² = a

✅ JANGAN LUPA:

Sekawan dari (√a - √b) adalah (√a + √b)
Kalikan atas DAN bawah!

Apakah sekarang sudah lebih jelas? Bagian mana yang masih membingungkan? 😊

Advertisement

Ad code

LIMIT

PANDUAN LENGKAP LIMIT KALKULUS 📚

1.1 PENDAHULUAN LIMIT

Apa itu Limit?

Contoh Konsep Dasar:

Kapan Limit Digunakan?

1.2 PENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMIT

A. Limit Kiri dan Limit Kanan

B. Metode Substitusi Langsung

C. Bentuk Tak Tentu (0/0, ∞/∞)

Teknik 1: Faktorisasi

Teknik 2: Mengalikan dengan Sekawan (untuk akar)

Teknik 3: Membagi dengan Pangkat Tertinggi (limit x→∞)

1.3 TEOREMA LIMIT

Teorema Dasar:

Contoh Penerapan:

Teorema Apit (Squeeze Theorem):

1.4 LIMIT MELIBATKAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Limit Trigonometri Dasar (WAJIB HAFAL!):

Teknik Menyelesaikan:

Cara 1: Manipulasi Aljabar

Cara 2: Substitusi

Identitas Trigonometri yang Berguna:

1.5 LIMIT DI TAK-HINGGA, LIMIT TAK-BERHINGGA

A. Limit di Tak Hingga (x→∞ atau x→-∞)

Tipe 1: Fungsi Aljabar (Polinomial/Rasional)

Tipe 2: Fungsi dengan Akar

B. Limit Tak Berhingga (Limit = ∞)

C. Bentuk Tak Tentu Khusus

1.6 KONTINUITAS FUNGSI

Apa itu Kontinuitas?

Definisi Formal:

Jenis-jenis Diskontinuitas (Ketidakkontinuan):

1. Diskontinuitas Removable (dapat dihilangkan)

2. Diskontinuitas Jump (lompatan)

3. Diskontinuitas Infinite (tak hingga)

Teorema Kontinuitas:

Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem):

1.7 TELAAH BAB

Ringkasan Konsep Kunci:

A. Definisi Limit

B. Teknik Menghitung Limit

C. Teorema Penting

D. Limit Khusus

E. Kontinuitas

Tips Sukses Menguasai Limit:

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari:

Strategi Mengerjakan Soal Limit:

PENUTUP

SOAL 1:

lim (x→1) [(x² - 1) / |x - 1|]

📚 PENJELASAN KONSEP DASAR:

🔍 LANGKAH PENYELESAIAN:

✅ KESIMPULAN SOAL 1:

SOAL 2:

lim (x→0) [(√(x + 3) - √3) / x]

📚 PENJELASAN KONSEP:

🔍 LANGKAH PENYELESAIAN:

✅ KESIMPULAN SOAL 2:

🎯 RINGKASAN:

PENJELASAN SUPER DETAIL SOAL 2 📖

SOAL:

lim (x→0) [(√(x + 3) - √3) / x]

BAGIAN 1: KENAPA HARUS DIRASIONALKAN? 🤔

Mari kita coba substitusi langsung dulu:

BAGIAN 2: APA ITU RASIONALISASI? 💡

Apa itu SEKAWAN?

BAGIAN 3: PROSES RASIONALISASI STEP BY STEP 📝

STEP 1: Siapkan pecahan awal

STEP 2: Kalikan dengan sekawan (atas DAN bawah!)

STEP 3: Kalikan pembilang dengan pembilang

STEP 4: Kalikan penyebut dengan penyebut

BAGIAN 4: SEDERHANAKAN ✂️

BAGIAN 5: SUBSTITUSI x = 0 🎯

BAGIAN 6: RASIONALKAN PENYEBUT (OPSIONAL) 📐

VISUALISASI LENGKAP: 👀

KESIMPULAN AKHIR: ✅

LATIHAN UNTUK PEMAHAMAN: 💪