kalkulus

📚 TEOREMA LIMIT

Materi Kalkulus dengan Bahasa yang Mudah Dipahami

🎈 Apa Itu Limit?

Bayangin kamu lagi jalan mendekati pintu. Semakin dekat ke pintu, semakin jelas kamu lihat pintunya. Nah, limit itu kayak gitu! Kita lihat apa yang terjadi sama fungsi ketika kita makin deket-deket ke suatu nilai.

🍭 Contoh Sederhana:

Misalkan kamu punya permen yang kamu potong-potong terus jadi setengah:

• Awalnya: 1 permen
• Potong 1: jadi 1/2
• Potong 2: jadi 1/4
• Potong 3: jadi 1/8
• Potong terus... mendekati 0!

Nah, permen kamu mendekati 0 tapi gak pernah bener-bener jadi 0. Ini konsep limit!

🎯 Kenapa Limit Penting?

1. Bisa hitung hal yang "gak bisa" dihitung langsung
   Contoh: 0/0 kan gak jelas hasilnya. Tapi pakai limit, kita bisa tahu!
2. Dasar untuk kalkulus
   Turunan dan integral semuanya pakai konsep limit!
3. Memahami perilaku fungsi
   Kita bisa tahu apa yang terjadi di titik-titik "bermasalah"

🔢 Notasi Limit

lim_x→a f(x) = L

Dibaca: "Limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L"

🎨 Analoginya Gini:

• x→a = Kamu jalan menuju titik a
• f(x) = Nilai fungsi (kayak tinggi badan kamu)
• L = Nilai yang didekati (tujuan akhir)

📐 Teorema-Teorema Limit

1️⃣ Teorema Limit Konstanta

lim_x→a c = c

Bahasa bayi: Kalau kamu punya angka yang gak berubah (konstanta), ya hasilnya tetap angka itu!

Contoh: lim_x→5 7 = 7 (angka 7 ya tetep 7!)

2️⃣ Teorema Limit Identitas

lim_x→a x = a

Bahasa bayi: Kalau x mendekati a, ya jawabannya a!

Contoh: lim_x→3 x = 3

3️⃣ Teorema Penjumlahan

lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)

Bahasa bayi: Limit dari penjumlahan = jumlah dari limit-limitnya!

4️⃣ Teorema Pengurangan

lim_x→a [f(x) - g(x)] = lim_x→a f(x) - lim_x→a g(x)

Bahasa bayi: Limit dari pengurangan = selisih dari limit-limitnya!

5️⃣ Teorema Perkalian Konstanta

lim_x→a [c·f(x)] = c · lim_x→a f(x)

Bahasa bayi: Kalau ada angka tetap dikali fungsi, keluarin aja angka tetapnya!

6️⃣ Teorema Perkalian

lim_x→a [f(x)·g(x)] = lim_x→a f(x) · lim_x→a g(x)

Bahasa bayi: Limit dari perkalian = hasil kali dari limit-limitnya!

7️⃣ Teorema Pembagian

lim_x→a [f(x)/g(x)] = [lim_x→a f(x)] / [lim_x→a g(x)]

Catatan: Asal penyebutnya (bawahnya) gak nol ya!

Bahasa bayi: Limit dari pembagian = hasil bagi dari limit-limitnya (asal bawahnya gak nol!)

8️⃣ Teorema Pangkat

lim_x→a [f(x)]ⁿ = [lim_x→a f(x)]ⁿ

Bahasa bayi: Limit dari pangkat = limit-nya dipangkatin!

9️⃣ Teorema Akar

lim_x→a ⁿ√f(x) = ⁿ√[lim_x→a f(x)]

Bahasa bayi: Limit dari akar = akar dari limit-nya!

🎪 Tips & Trik Mengerjakan Limit

💡 Langkah Umum:

1. Substitusi Langsung - Coba masukin nilai x-nya dulu
2. Kalau Bentuk Tak Tentu (0/0 atau ∞/∞):
   • Faktorisasi (dipecah jadi perkalian)
   • Kalikan dengan sekawan (khusus bentuk akar)
   • Bagi dengan pangkat tertinggi (khusus limit tak hingga)
3. Sederhanakan hasil yang didapat

Soal 1

lim_x→-1 (2x + 1)

🎯 Penyelesaian:

1 Ini soal gampang! Tinggal substitusi langsung aja.

2 Ganti x dengan -1:
= 2(-1) + 1
= -2 + 1
= -1

💡 Kenapa bisa langsung? Karena fungsi ini kontinu (gak ada "lubang" atau masalah), jadi tinggal masukin aja nilai x-nya!

Soal 3

lim_x→0 [(2x + 1)(x - 3)]

🎯 Penyelesaian:

1 Substitusi langsung x = 0:

2 = [2(0) + 1][0 - 3]
= [0 + 1][-3]
= 1 × (-3)
= -3

💡 Tips: Kalau gak ada masalah (seperti 0/0), langsung substitusi aja!

Soal 5

lim_x→2 (2x + 1)/(5 - 3x)

🎯 Penyelesaian:

1 Substitusi x = 2:

2 = [2(2) + 1] / [5 - 3(2)]
= [4 + 1] / [5 - 6]
= 5 / (-1)
= -5

💡 Catatan: Penyebutnya gak nol, jadi aman!

Soal 7

lim_x→8 √(x - 5)

🎯 Penyelesaian:

1 Substitusi x = 8:

2 = √(8 - 5)
= √3
= √3 ≈ 1.732

💡 Tips: Fungsi akar kontinu untuk nilai positif, jadi bisa langsung substitusi!

Soal 9

lim_x→-5 (2h³ + 15)13

🎯 Penyelesaian:

1 Asumsi variabelnya h dan h → -5, dikali 13

2 = [2(-5)³ + 15] × 13
= [2(-125) + 15] × 13
= [-250 + 15] × 13
= (-235) × 13
= -3055

Soal 11

lim_y→1 [(4y³ + 8y)/(y + 4)]^1/3

🎯 Penyelesaian:

1 Hitung limit dalam kurung dulu:

2 = [(4(1)³ + 8(1))/(1 + 4)]^1/3
= [(4 + 8)/5]^1/3
= [12/5]^1/3
= ∛(12/5) ≈ 1.31

💡 Tips: Pakai teorema: limit dari pangkat = limit-nya dipangkatin!

Soal 13

lim_x→2 (x² - 4)/(x² + 4)

🎯 Penyelesaian:

1 Cek dulu dengan substitusi:

2 = [(2)² - 4] / [(2)² + 4]
= [4 - 4] / [4 + 4]
= 0 / 8
= 0

💡 Kenapa gak faktorisasi? Karena hasilnya bukan 0/0, jadi gak perlu!

Soal 15

lim_x→-1 (x³ - 2x - 3)/(x² + 1)

🎯 Penyelesaian:

1 Substitusi x = -1:

2 = [(-1)³ - 2(-1) - 3] / [(-1)² + 1]
= [-1 + 2 - 3] / [1 + 1]
= -2 / 2
= -1

Soal 17

lim_x→3 (x³ - 6x² + 11x - 6)/(x³ + 4x² - 19x + 14)

🎯 Penyelesaian:

1 Substitusi x = 3:

2 Pembilang: (3)³ - 6(3)² + 11(3) - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0
Penyebut: (3)³ + 4(3)² - 19(3) + 14 = 27 + 36 - 57 + 14 = 20

3 = 0/20 = 0

💡 Ingat: 0 dibagi bilangan bukan nol hasilnya 0!

Soal 19

lim_x→1 (x³ + x - 2)/(x² - 1)

🎯 Penyelesaian:

1 Substitusi x = 1: dapat 0/0 (bentuk tak tentu!)

2 Faktorisasi:
Pembilang: x³ + x - 2 = (x - 1)(x² + x + 2)
Penyebut: x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

3 = [(x - 1)(x² + x + 2)] / [(x - 1)(x + 1)]
= (x² + x + 2)/(x + 1) [coret (x-1)]

4 Substitusi x = 1:
= (1 + 1 + 2)/(1 + 1) = 4/2 = 2

💡 Tips: Kalau 0/0, faktorkan dan coret faktor yang sama!

Soal 21

lim_u→2 (u² - u² + 2u - 2x)/(u² - u - 6)

🎯 Penyelesaian:

1 Asumsi soalnya: (u³ - u² + 2u - 2)/(u² - u - 6)

2 Substitusi u = 2: dapat 0/0

3 Faktorisasi:
Pembilang: u³ - u² + 2u - 2 = u²(u - 1) + 2(u - 1) = (u - 1)(u² + 2)
Penyebut: u² - u - 6 = (u - 3)(u + 2)

4 Hmm, gak ada faktor yang sama untuk dicoret. Coba cek lagi dengan substitusi u = 2:
Pembilang: 8 - 4 + 4 - 2 = 6
Penyebut: 4 - 2 - 6 = -4
= 6/(-4) = -3/2

Soal 23

lim_x→π (2x² - 6xπ + 4π²)/(x² - π²)

🎯 Penyelesaian:

1 Substitusi x = π: dapat 0/0

2 Faktorisasi:
Pembilang: 2x² - 6xπ + 4π² = 2(x² - 3xπ + 2π²) = 2(x - π)(x - 2π)
Penyebut: x² - π² = (x - π)(x + π)

3 = [2(x - π)(x - 2π)] / [(x - π)(x + π)]
= [2(x - 2π)] / (x + π) [coret (x - π)]

4 Substitusi x = π:
= [2(π - 2π)] / (π + π)
= [2(-π)] / (2π)
= -2π / 2π = -1

Soal 25

lim_x→1 √[f(x) · g(x)]

Diketahui dari Telaah Konsep: lim f(x) = 4, lim f(x² + 3)(x) = ..., lim g(x) = -2

🎯 Penyelesaian:

1 Pakai teorema limit akar dan perkalian:

2 lim √[f(x)·g(x)] = √{[lim f(x)]·[lim g(x)]}

3 Dari informasi: lim f(x) = 4, lim g(x) = -2

4 = √[4 × (-2)]
= √(-8)

Jawaban: Tidak ada di bilangan riil (√(-8) = 2i√2 di bilangan kompleks)

💡 Catatan: Akar dari bilangan negatif tidak terdefinisi di bilangan riil!

Soal 27

lim_x→0 √[g(x)] [f(x) + 3]

🎯 Penyelesaian:

1 Gunakan teorema limit perkalian dan akar:

2 = √[lim g(x)] · [lim f(x) + 3]

3 Perlu informasi nilai limit f(x) dan g(x) saat x → 0

💡 Tips: Pisahkan limit untuk tiap bagian, lalu gabungkan!

Soal 29

lim_x→0 [|f(0)| + |3g(0)|]

🎯 Penyelesaian:

1 Ini adalah limit dari konstanta (karena f(0) dan g(0) adalah nilai tetap)

2 = |f(0)| + |3g(0)|

💡 Ingat: Limit konstanta = konstanta itu sendiri!

Soal 31

f(x) = 3x²

Carilah lim [f(x) - f(2)]/(x - 2) untuk masing-masing fungsi yang diberikan.

🎯 Penyelesaian:

1 f(x) = 3x², maka f(2) = 3(2)² = 12

2 lim_x→2 [f(x) - f(2)]/(x - 2) = lim_x→2 (3x² - 12)/(x - 2)

3 Substitusi x = 2: dapat 0/0, maka faktorkan:
= lim_x→2 [3(x² - 4)]/(x - 2)
= lim_x→2 [3(x - 2)(x + 2)]/(x - 2)
= lim_x→2 3(x + 2)

4 = 3(2 + 2) = 3(4) = 12

💡 Catatan: Ini adalah definisi turunan! f'(2) = 12

Soal 33

f(x) = 1/x

🎯 Penyelesaian:

1 Ini definisi fungsi 1/x

2 Contoh limit:
lim_x→2 1/x = 1/2
lim_x→0⁺ 1/x = +∞
lim_x→0⁻ 1/x = -∞

💡 Perhatian: Fungsi ini tidak terdefinisi di x = 0!

Soal 35

Buktikan Pernyataan 6 dari Teorema A

[f(x)g(x) - L·M] = [f(x)g(x) - Lg(x) + Lg(x) - L·M]

🎯 Penyelesaian:

1 Yang Mau Dibuktikan:
lim[f(x)·g(x)] = [lim f(x)]·[lim g(x)] = L·M

2 Trik Pintar: Tambah-kurangi dengan Lg(x)
f(x)g(x) - LM = [f(x)g(x) - Lg(x)] + [Lg(x) - LM]

3 Faktorkan:
= g(x)[f(x) - L] + L[g(x) - M]

4 Ambil Limit:
lim{g(x)[f(x) - L] + L[g(x) - M]}
= lim g(x) · lim[f(x) - L] + L · lim[g(x) - M]
= M · 0 + L · 0 = 0

5 Kesimpulan:
Karena lim[f(x)g(x) - LM] = 0
Maka lim[f(x)g(x)] = LM ✓

💡 Bahasa Bayi: Kita buktikan kalau limit perkalian = perkalian limit dengan cara "tambah-kurangi pintar" terus buktikan selisihnya nol!

Soal 37

Buktikan bahwa lim f(x) = L ⟺ lim [f(x) - L] = 0

🎯 Penyelesaian:

1 Arah (⟹): Jika lim f(x) = L, maka lim[f(x) - L] = 0

2 Gunakan teorema limit pengurangan:
lim[f(x) - L] = lim f(x) - lim L
= L - L = 0 ✓

3 Arah (⟸): Jika lim[f(x) - L] = 0, maka lim f(x) = L

4 Dari lim[f(x) - L] = 0, kita punya:
lim f(x) - L = 0
lim f(x) = L ✓

💡 Bahasa Bayi: Dua pernyataan ini sama aja! Kalau f(x) mendekati L, ya jarak antara f(x) dan L mendekati 0. Begitu juga sebaliknya!

Soal 39

Buktikan bahwa lim |x| = |c|

🎯 Penyelesaian:

1 Ingat: |x| adalah nilai mutlak (selalu positif atau nol)

2 Kasus 1: Jika c > 0
Untuk x mendekati c (positif), |x| = x
Jadi lim |x| = lim x = c = |c| ✓

3 Kasus 2: Jika c < 0
Untuk x mendekati c (negatif), |x| = -x
Jadi lim |x| = lim(-x) = -c = |c| ✓

4 Kasus 3: Jika c = 0
lim |x| = 0 = |0| ✓

💡 Bahasa Bayi: Fungsi nilai mutlak itu "kontinu" (gak ada lompatan), jadi limit-nya ya tinggal ambil nilai mutlak dari titik tujuannya!

Soal 41

lim_x→0 (∛x + x)/x

🎯 Penyelesaian:

1 Substitusi x = 0: dapat 0/0

2 Pecah jadi dua limit:
= lim(∛x/x) + lim(x/x)

3 = lim(x^(1/3)/x) + lim(1)
= lim(x^(1/3 - 1)) + 1
= lim(x^(-2/3)) + 1

4 Karena x^(-2/3) = 1/x^(2/3):
Saat x→0, 1/x^(2/3) → ∞

Jawaban: Limit tidak ada (∞)

💡 Catatan: Pangkat negatif bikin penyebut, kalau penyebutnya mendekati 0, hasilnya tak hingga!

Soal 43

lim_x→3 (x - 3)/√(x - 9)

🎯 Penyelesaian:

1 Hati-hati! Ada kesalahan penulisan. Harusnya:
lim_x→9 (x - 3)/√(x - 9) atau
lim_x→3 (x - 3)/√(x - 3)

2 Asumsikan: lim_x→9 (x - 3)/√(x - 9)

3 Substitusi x = 9:
= (9 - 3)/√(9 - 9)
= 6/√0 = 6/0 → Tak Terdefinisi

💡 Alternatif jika lim_x→9 (x - 9)/√(x - 9):
= √(x - 9), saat x→9, hasilnya = 0

Soal 45

lim_x→3 [(x² + 1)|x|] / [(3x - 1)²]

🎯 Penyelesaian:

1 Karena x→3 (positif), |x| = x

2 Substitusi x = 3:
= [(3² + 1)(3)] / [(3·3 - 1)²]
= [(9 + 1)(3)] / [(9 - 1)²]
= [10 × 3] / [8²]
= 30 / 64
= 15/32

Soal 47

lim_x→0 x/(|x|)

🎯 Penyelesaian:

1 Perhatian! Ini limit sepihak berbeda:

2 Dari kanan (x→0⁺):
x > 0, jadi |x| = x
lim x/|x| = x/x = 1

3 Dari kiri (x→0⁻):
x < 0, jadi |x| = -x
lim x/|x| = x/(-x) = -1

4 Karena limit kiri ≠ limit kanan

Jawaban: Limit tidak ada

💡 Bahasa Bayi: Dari kanan hasilnya 1, dari kiri hasilnya -1. Beda! Jadi limitnya gak ada!

Soal 49

Misalkan f(x)g(x) = 1 untuk semua x dan lim_x→a g(x) = 0. Buktikan bahwa lim_x→a f(x) tidak ada.

🎯 Penyelesaian (Bukti dengan Kontradiksi):

1 Asumsi (untuk kontradiksi):
Misalkan lim f(x) = L (ada)

2 Dari teorema limit perkalian:
lim[f(x)·g(x)] = [lim f(x)]·[lim g(x)]
= L · 0 = 0

3 Tapi dari soal:
f(x)g(x) = 1 untuk semua x
Jadi lim[f(x)g(x)] = lim 1 = 1

4 Kontradiksi!
0 ≠ 1
Jadi asumsi kita salah

Kesimpulan: lim f(x) tidak ada ✓

💡 Bahasa Bayi: Kalau f(x)×g(x) = 1 terus, tapi g(x)→0, berarti f(x) harus makin gede tanpa batas biar hasil kalinya tetep 1. Jadi f(x) gak punya limit!

Soal 51

Misalkan R adalah segitiga yang menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisi dari suatu segi empat Q...

🎯 Penyelesaian:

1 Ini soal geometri tentang limit!

2 Konsep:
- Mulai dengan segi empat Q
- Buat segi empat R dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisi Q
- Ulangi proses ini terus

3 Yang Terjadi:
- Setiap iterasi, luas segi empat berkurang
- Bentuknya makin mendekati suatu bentuk tertentu

4 Teorema:
Segi empat yang dibentuk dari titik tengah akan punya luas = 1/2 × luas segi empat awal

5 Limit:
Jika L₀ = luas awal
L₁ = L₀/2
L₂ = L₀/4
L₃ = L₀/8
...
Lₙ = L₀/2ⁿ

6 lim_n→∞ Lₙ = lim_n→∞ L₀/2ⁿ = 0

💡 Bahasa Bayi: Kalau kita terus-terusan bikin segi empat baru dari titik tengah, luasnya makin kecil setengahnya. Lama-lama mendekati nol! Kayak kita potong kue jadi setengah terus-menerus!

🎊 Rangkuman & Tips Penting

✅ Langkah Umum Menyelesaikan Limit:

1. Substitusi Langsung - Coba dulu!
2. Kalau 0/0: Faktorisasi atau kalikan sekawan
3. Kalau ∞/∞: Bagi dengan pangkat tertinggi
4. Pakai Teorema Limit - Pecah jadi bagian kecil
5. Cek Limit Sepihak - Kadang dari kiri beda dari kanan

🎯 Teorema Paling Sering Dipakai:

• lim(kanan + kiri) = lim kanan + lim kiri
• lim(kanan - kiri) = lim kanan - lim kiri
• lim(kanan × kiri) = lim kanan × lim kiri
• lim(kanan / kiri) = lim kanan / lim kiri (bawah ≠ 0)
• lim[f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ

⚠️ Jebakan yang Sering Muncul:

• 0/0: Harus difaktorkan dulu!
• ∞/∞: Bagi dengan pangkat tertinggi!
• Limit Sepihak Beda: Limitnya tidak ada!
• Akar dari Negatif: Perhatikan domain!
• Nilai Mutlak di x=0: Cek kiri dan kanan!